不可能的阿羅

2017年2月21日，一代經(jīng)濟(jì)學(xué)大師肯尼斯·J.阿羅逝世，享年95歲。他最著名的阿羅不可能定理——又被稱為投票悖論——提出已經(jīng)超過半個世紀(jì)，英國脫歐、特朗普當(dāng)選，卻仍在現(xiàn)實(shí)世界反復(fù)印證它。

在大眾眼中，阿羅（Kenneth J.Arrow）的名氣可能遠(yuǎn)遠(yuǎn)不及凱恩斯、熊彼特、弗里德曼這些名字如雷貫耳，不過在經(jīng)濟(jì)學(xué)界，阿羅毫無疑問被視為宗師級人物，他在經(jīng)濟(jì)學(xué)的多個領(lǐng)域都做出了開拓性的貢獻(xiàn)，其涉獵領(lǐng)域之廣罕有人及。

如果以諾貝爾獎作為衡量一個學(xué)者成就的坐標(biāo)，阿羅早在1972年就獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎，時年51歲。甚至還有很多人認(rèn)為，以阿羅在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的多項成就，他應(yīng)該獲得3～4個諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎。不僅如此，阿羅在哈佛大學(xué)和斯坦福大學(xué)任教期間，還有4位學(xué)生也獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎，分別是1994年約翰·海薩尼（John Harsanyi）因為博弈論獲獎，2001年邁克爾·斯賓塞（Michael Spence）因為不對稱信息市場分析獲獎，2007年的埃里克·馬斯金（Eric Maskin）和羅杰·梅爾森（Roger Myerson），因為機(jī)制設(shè)計理論獲獎。

阿羅曾經(jīng)寫過一篇自傳性文章，對自己的出生和成長背景做過簡要介紹：父母雙方的家庭都是外國移民，1900年左右來到美國。父親年輕時的事業(yè)順風(fēng)順?biāo)⒘_10歲之前的生活非常舒適，后來經(jīng)濟(jì)大蕭條使得父親的事業(yè)一敗涂地，阿羅大概度過了10年左右一貧如洗的日子。

年幼的阿羅幾乎無書不讀，并被很多人認(rèn)為天賦異稟。從高中開始，阿羅開始對數(shù)學(xué)與數(shù)理邏輯產(chǎn)生濃厚興趣。到了大學(xué)階段，阿羅進(jìn)入紐約的城市學(xué)院（City College）就讀，考慮到自己感興趣的數(shù)學(xué)與邏輯等科目難以就業(yè)，阿羅選修了一些比較實(shí)用的課程，比如高中教學(xué)、保險精算以及統(tǒng)計學(xué)等，其中統(tǒng)計學(xué)對阿羅日后的經(jīng)濟(jì)學(xué)生涯產(chǎn)生了決定性影響。

阿羅在1940年大學(xué)畢業(yè)后，并沒有找到心儀的工作，于是進(jìn)入哥倫比亞大學(xué)攻讀統(tǒng)計學(xué)，師從當(dāng)時的統(tǒng)計學(xué)大師霍泰林（Harold Hotelling），這成為阿羅日后在學(xué)術(shù)研究上騰飛的起點(diǎn)。在幾經(jīng)比較之后，阿羅的博士論文最終確定為《社會選擇理論》（Theory of Social Choice），這在當(dāng)時的經(jīng)濟(jì)學(xué)界幾乎還是一個全新的領(lǐng)域，阿羅成為社會選擇理論這一學(xué)科最重要的開拓者。

從哥倫比亞大學(xué)畢業(yè)之后，阿羅繼續(xù)他在社會選擇領(lǐng)域的研究，1951年出版了《社會選擇與個人價值》一書，在書中他正式系統(tǒng)性地提出了“阿羅不可能定理”，這也是阿羅最著名的理論。

阿羅不可能定理又被稱為投票悖論。阿羅研究的目的是，民主投票是否可以實(shí)現(xiàn)最好的社會選擇？在阿羅之前，主流觀念認(rèn)為民主投票通過累積個人選擇的偏好，可以在最大程度上實(shí)現(xiàn)社會選擇的最優(yōu)化。而阿羅的研究證明了民主投票不可能實(shí)現(xiàn)社會選擇的最優(yōu)，充其量只能實(shí)現(xiàn)次優(yōu)甚至第三優(yōu)。

在民主投票的過程中，為了準(zhǔn)確體現(xiàn)個人投票的偏好，阿羅設(shè)定了幾個預(yù)設(shè)條件，其中最重要的一條是社會選擇必須是可傳遞的。也就是說，如果對A的偏好強(qiáng)于B，對B的偏好強(qiáng)于C，那么對A的偏好就必須強(qiáng)于C，這就是社會選擇的可傳遞性。其他條件包括非獨(dú)裁性，也就是集體決策不能是任何人獨(dú)裁做出；獨(dú)立性，也就是社會選擇不能以與個人選擇相反的方向改變等。

在預(yù)設(shè)條件之下，阿羅考察了多數(shù)人的投票方案，最后通過數(shù)學(xué)方法得出結(jié)論：依靠簡單多數(shù)的投票原則，要在各種個人偏好中選擇出一個共同一致的順序是不可能的。換而言之，通過集體投票的方式來對社會公共事務(wù)進(jìn)行決策，不可能準(zhǔn)確傳遞出民眾的真實(shí)意圖。1972年阿羅獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎時，瑞典皇家科學(xué)院的頒獎詞提道：“在阿羅對福利經(jīng)濟(jì)理論所做的多種貢獻(xiàn)中，最重要的也許是他的不可能性定理，按照這個定理，在個人偏好函數(shù)范圍以外不可能編制社會福利函數(shù)。”

阿羅的不可能定理采用復(fù)雜的數(shù)學(xué)方法論證，不過還是可以用相對通俗的語言來解釋。有甲、乙、丙三人，對A、B、C三個公共事務(wù)投票，比如A代表修鐵路、B修公路、C代表修機(jī)場，或者其他類似的選擇。甲、乙、丙三個人做出的選擇是：

　　甲（A＞B＞C）；

　　乙（B＞C＞A）；

　　丙（C＞A＞B）。

如果在A和B之間比較，兩個人的投票顯示A＞B，只有一個B＞A，按照多數(shù)原則，社會選擇對A的偏好大于B。如果在B和C之間比較，兩個人的投票顯示B＞C，只有一個C＞B，同理，社會選擇對B的偏好更大于C。

如果按照社會選擇的可傳遞性原則，如果社會選擇對A的偏好大于B，對B的偏好大于C，這就意味著對A的偏好大于C，也就是說C選項將會被淘汰。但是如果仔細(xì)對比甲、乙、丙三人投票中關(guān)于A和C的選擇，只有一個人選擇了A＞C，但是有兩個人選擇了C＞A。投票悖論由此產(chǎn)生。

阿羅的不可能定理提出至今已經(jīng)超過了半個世紀(jì)，經(jīng)濟(jì)學(xué)家和政治家們也都在不停反思如何對投票決策的民主程序進(jìn)行改進(jìn)，但似乎效果不彰，英國脫歐、特朗普當(dāng)選等等屢屢爆發(fā)的“黑天鵝事件”，也都在現(xiàn)實(shí)世界反復(fù)印證阿羅不可能定理。

作為經(jīng)濟(jì)學(xué)界的一代宗師，阿羅的成就并不局限于社會選擇理論，世人公認(rèn)其對經(jīng)濟(jì)學(xué)主要有三大貢獻(xiàn)，除了社會選擇理論之外，一般均衡理論和信息經(jīng)濟(jì)學(xué)也是阿羅的主要成就所在。

阿羅在1972年獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎，主要成就其實(shí)并非為世人熟知的阿羅不可能定理，而是一般均衡理論。通俗而言，一般均衡就是指現(xiàn)實(shí)世界經(jīng)濟(jì)體的運(yùn)行都具有牽一發(fā)而動全身的聯(lián)系，決策者在做出一項決定時需要通盤考慮其連鎖反應(yīng)引發(fā)的后果，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)一般均衡。阿羅曾經(jīng)列舉過一個案例來解釋一般均衡：“30年代，由于得克薩斯州及波斯灣地區(qū)發(fā)現(xiàn)了石油，油價變得非常低廉。許多家庭在能源的消費(fèi)上從煤改成石油，因此減少了對煤的需求，連帶也降低了煤礦工人的就業(yè)水平。煉油廠迅速擴(kuò)張，雇用了更多的勞工。同樣地，由于煉油產(chǎn)生對煉油機(jī)器設(shè)備的需求，從而又導(dǎo)致對專業(yè)化學(xué)工程師以及鋼鐵的需求。油價便宜了，汽車的購買與使用也更為普遍。沒有鐵路經(jīng)過但公路可到達(dá)的觀光地區(qū)，開始涌入大量的旅客，鐵路運(yùn)輸卻開始衰退。每一項變動，都會引發(fā)其他的變化，而這些變化反過來又影響石油的需求與供給。”

一般均衡理論最早由法國經(jīng)濟(jì)學(xué)家瓦爾拉斯（Leon Walras）在1874年率先提出，他提出了一般均衡的概念，并且認(rèn)為市場中所有的價格和生產(chǎn)數(shù)量都可以調(diào)整到相互協(xié)調(diào)的水平。隨著經(jīng)濟(jì)學(xué)和數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展，以阿羅為代表的后來者開始有能力在技術(shù)上對一般均衡的存在予以論證，大概在上世紀(jì)50年代，阿羅和另外一名經(jīng)濟(jì)學(xué)家?guī)缀跬瑫r獨(dú)立證明了一般均衡理論，二人聯(lián)合發(fā)表了研究成果，也就是阿羅―德布魯一般均衡模型。另外一名英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家希克斯同樣對一般均衡理論做出了開拓性研究，并且在1972年和阿羅攜手獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎。

值得一提的是，阿羅證明一般均衡理論和提出阿羅不可能定理時，才剛剛30歲出頭，阿羅的天才由此可見一斑。在完成了這兩大成就之后，阿羅的興趣轉(zhuǎn)向了信息經(jīng)濟(jì)學(xué)，這成為阿羅對經(jīng)濟(jì)學(xué)的第三大貢獻(xiàn)。阿羅的信息經(jīng)濟(jì)學(xué)主要是針對不同經(jīng)濟(jì)主體的信息差異，探討其經(jīng)濟(jì)上的意義。阿羅認(rèn)為經(jīng)濟(jì)世界面臨很多不確定性，不確定就意味著成本，而信息的價值就在于降低了經(jīng)濟(jì)世界的不確定性，因此信息也是經(jīng)濟(jì)發(fā)展的重要要素之一。阿羅和喬治·斯蒂格勒等人成為信息經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域的重要開拓者。

對于很多經(jīng)濟(jì)學(xué)家而言，窮其一生能夠達(dá)到阿羅的某一項成就，就已經(jīng)足以稱得上大師，但是阿羅除了社會選擇、一般均衡和信息經(jīng)濟(jì)這三大成就之外，在經(jīng)濟(jì)增長、證券定價、醫(yī)療保險等領(lǐng)域也都做出了杰出貢獻(xiàn)。在經(jīng)濟(jì)學(xué)的歷史上，阿羅儼然就是一個不可能的存在。